Compton Olayinin Hesaplanmasi

Yukarıdaki şekilde compton olayı göstermektedir.
$E_{\gamma }\to$ gelen foton enerjisi
$p_{\gamma }\to$ gelen foton momentumu
$E_e\to Çıkan$ elektronun enerjisi
$p_e\to Çıkan$ elektronun momentumu
$E_{\gamma }^{´}\to$ Çıkan fotonun enerjisi
$p_{\gamma }^{´}\to$ Çıkan fotonun momentumu

Ek olarak
γ → Gelen fotonun dalgaboyu
${\gamma }^{´}$→ Çıkan fotonun dalgaboyu

Gelen foton ile çıkan foton arasındaki açı  θ'dır ve gelen foton ile çıkan elektron arasındaki açı ise φ'dir.

Compton olayının dalgaboyunun farkları enerji ve momentum konumuna göre çözebilir. Bu olay esnek çarpışma olayı olduğu için momentum ve enerjisi korunmu vardır.

Öncelikli olarak compton olayının momentum korunmasına göre yazalıyım ve bu eşitliğini çözerim. yatay yönüne göre momentumun eşitliği,
$$p_{\gamma }=p_{\gamma }^{\prime }\cos \theta +p_e\cos \phi$$
$$p_{\gamma }-p_{\gamma }^{\prime }\cos \theta =p_e\cos \phi$$

karesi alınırsa,
$$p_{\gamma }^2+{p_{\gamma }^{\prime }}^2{\cos }^2\theta -2p_{\gamma }{p}_{\gamma }^{\prime }\cos \theta =p_e^2{\cos }^2\phi$$

dikey yönüne göre momentumun eşitliği,
$$p_{\gamma }=p_{\gamma }^{\prime }\mathrm{sin\theta }-p_e\cos \phi$$
$$p_{\gamma }^{\prime }\mathrm{sin\theta }=p_e\cos \phi$$

karesi alınırsa,
$${p_{\gamma }^{\prime }}^2{\sin }^2\theta =p_e^2{\sin }^2\phi$$

elde edilir. φ yok etmek için karesi alınan momentumlar toplanır.
$$p_{\gamma }^2+{p_{\gamma }^{\prime }}^2{\cos }^2\theta -2p_{\gamma }{p}_{\gamma }^{\prime }\mathrm{cos\theta }+{p_{\gamma }^{\prime }}^2{\sin }^2\theta =p_e^2{\cos }^2\phi +p_e^2{\sin }^2\phi$$
$$p_{\gamma }^2+{p_{\gamma }^{\prime }}^2-2p_{\gamma }{p}_{\gamma }^{\prime }\mathrm{cos\theta }=p_e^2$$

Compton olayınında fotonun dalgaboyunun değişmesine bakıldığı için θ açı ile ifade edilmesi gerek bu nedenle φ açısı yok edilir.

Compton olayının çarpışmadan önce ve sonra enerjisi korunum ilkellerine göre enerji eşitleri yazarım.
$$E_{\gamma }+m_e{c}^2=E_{\gamma }^{\prime }+E_e$$

Eğer foton için $p_{\gamma }c=E_{\gamma }$ ve $p_{\gamma }=\frac{h}{\lambda }$ şeklinde olur:
$$\frac{\mathrm{hc}}{\lambda }+m_e{c}^2-\frac{\mathrm{hc}}{{\lambda }^{\prime }}=\sqrt{m_e^2{c}^4+p_e^2{c}^2}$$

$$\frac{h^2{c}^2}{{\lambda }^2}+m_e^2{c}^4+\frac{h^2{c}^2}{{{\lambda }^{\prime }}^2}-2m_e{c}^2\frac{\mathrm{hc}}{{\lambda }^{\prime }}+2m_e{c}^2\frac{\mathrm{hc}}{\lambda }-\frac{2h^2{c}^2}{{\lambda }^{\prime }\lambda }=m_e^2{c}^4+p_e^2{c}^2$$

$$\frac{h^2}{{\lambda }^2}+\frac{h^2}{{{\lambda }^{\prime }}^2}-2m_e\frac{\mathrm{hc}}{{\lambda }^{\prime }}+2m_e\frac{\mathrm{hc}}{\lambda }-\frac{2h^2}{{\lambda }^{\prime }\lambda }=p_e^2$$

Buna göre momentum eşitliğini aşağıdaki gibi olur.
$$p_{\gamma }^2+{p_{\gamma }^{\prime }}^2-2p_{\gamma }{p}_{\gamma }^{\prime }\mathrm{cos\theta }=p_e^2$$
$$\frac{h^2}{{\lambda }^2}+\frac{h^2}{{{\lambda }^{\prime }}^2}-\frac{2h^2}{\lambda {\lambda }^{\prime }}\mathrm{cos\theta }=p_e^2$$

Enerji ve momentum enerjini kullanrak eşitliği bularım.
$$\frac{h^2}{{\lambda }^2}+\frac{h^2}{{{\lambda }^{\mathrm{\prime }}}^2}-2m_e\frac{\mathrm{hc}}{{\lambda }^{\prime }}-\frac{2h^2}{\lambda {\lambda }^{\prime }}+2m_e\frac{\mathrm{hc}}{\lambda }=\frac{h^2}{{\lambda }^2}+\frac{h^2}{{{\lambda }^{\prime }}^2}-\frac{2h^2}{\lambda {\lambda }^{\prime }}\mathrm{cos\theta }$$
$$-m_e\frac{c}{{\lambda }^{\prime }}-\frac{c}{\lambda {\lambda }^{\prime }}+m_e\frac{c}{\lambda }=-\frac{c}{\lambda {\lambda }^{\prime }}\mathrm{cos\theta }$$
$$m_{e}c\left(\frac{1}{\lambda }-\frac{1}{{\lambda }^{\prime }}\right)=\frac{h\left(1-\mathrm{cos\theta }\right)}{\lambda {\lambda }^{\prime }}$$
$$\Delta \lambda ={\lambda }^{\prime }-\lambda =\frac{h}{m_{e}c}\left(1-\mathrm{cos\theta }\right)$$

Yukarındaki compton olayının oluşan dalgaboyu denklemi yukarıdaki gibidir.